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Es ya un clásico de internet en general y de las redes sociales en particular. Cada cierto tiempo aparece una operación combinada acompañada de imágenes de calculadoras mostrando dos resultados distintos de la misma, y a partir de ahí comienza la «guerra» entre los que aseguran que el correcto es uno de ellos y los que abogan por el otro. En esta ocasión, la operación es 8:2(2+2), y los dos resultados posibles son 1 y 16 (también está el «bando» de lo que dicen que la expresión está mal escrita, también lo trataremos más adelante). Hoy vamos a hablar aquí sobre este tema con la intención de disipar todas las dudas que puedan generar este tipo de expresiones.

Los más viejos del lugar recordarán que no es la primera vez que hablamos sobre este tema en el blog. De hecho, hay una entrada dedicada a la jerarquía de las operaciones a raíz de la aparición de otra expresión combinada viral igual que la anterior: 6:2(1+2). En aquella ocasión apelábamos a la jerarquía de las operaciones habitual y al siguiente criterio: Varias operaciones del mismo nivel de jerarquía se realizarán de izquierda a derecha. En esta ocasión vamos a bucear en el álgebra para comprender el significado de las operaciones para así entender el porqué de la utilización de dicho criterio.

Por si alguien duda, el valor de esta expresión combinada es 16. Aparte de esta respuesta (que, repito, es la correcta), voy a comentar algunas de las cosas que he visto por internet en relación con este problema:

La respuesta es 1 porque la yuxtaposición tiene prioridad

Es decir, que si la expresión fuera 8:2 \cdot (2+2) daría 16, pero como el · no está escrito se entiende que el producto  2(2+2) tiene prioridad, por lo que, después del paréntesis, es la primera operación que hay que realizar. Y no son pocos los que lo defienden, incluso hay calculadoras y aplicaciones matemáticas que están programadas para funcionar de esa forma.

Bien, pues no hay ningún fundamento matemático en el hecho de dar prioridad a la yuxtaposición. Más adelante veremos el porqué.

El valor puede ser 1 o 16, depende de cómo lo hagas

Evidentemente, depende de cómo lo hagas…si lo haces mal te da 1 y si lo haces bien te da 16.

Bromas aparte, esta forma de ver el asunto se ha propagado aún más en este caso, ya que hay varios medios de comunicación importantes que han cometido un error terrible.

La cuestión es la siguiente. En el mundo anglosajón se estila usar dos reglas mnemotécnicas para esto de la jerarquía de las operaciones: PEMDAS (Parentheses (Paréntesis), Exponents (Exponentes) , Multiplication-Division (Multiplicación-División), Addition-Subtraction (Suma y resta)) y BODMAS Brackets (Paréntesis), Orders (Exponentes), Division-Multiplication (División-Multiplicación), Addition-Subtraction (Suma y resta)). Luego cada uno se inventa una frasecita cuyas palabras comiencen con cada una de las letras del acrónimo y así se lo aprende más fácilmente.

Bien, pues lo que han hecho estos medios (no voy a poner enlaces, no quiero contribuir a la difusión de esos errores) es interpretar el MD de PEMDAS como que con este «método» la multiplicación tiene prioridad sobre la división, y el DM de BODMAS como que aquí es la división la que prioriza sobre la multiplicación. Ole.

Pues no, señoras y señores, no es así la cosa: ni la multiplicación tiene prioridad sobre la división por el mero hecho de serlo, ni al contrario, al igual que la suma, por el hecho de ser una suma, no tiene prioridad sobre la resta, ni al revés. En los próximos párrafos veremos el porqué.

La expresión está mal formulada, no podemos saber cómo calcularla si no me ponen ciertos paréntesis

A esta última opción se han adherido muchas personas. Básicamente dicen que, después de hace el 2+2 no saben si tienen que hacer primero la división o la multiplicación, ya que es necesario indicar la prioridad con otros paréntesis. Vamos, que es obligatorio que la expresión inicial venga escrita así

(8:2)(2+2)

o así

8:(2(2+2))

para que podamos saber el orden en el que tenemos que realizar los cálculos.

Bien, podría ser, ya que es cierto que en ocasiones podemos encontrarnos con expresiones de este tipo que de verdad están mal formuladas. Por ejemplo, una expresión del tipo 7-2+5) está, claramente, mal formulada (o sobra ese paréntesis o falta un paréntesis de apertura), y una expresión del tipo \pi+ \cdot 4-5 también lo está (no hay interpretación que tenga sentido para ese + \cdot que aparece en ella).

Pero no es éste el caso que nos ocupa. Porque, pregunto a quienes piensan de esta forma, ¿la expresión 19-5+7 está bien o mal formulada? Bien formulada, es evidente, ¿verdad? Con un resultado claro, que no genera la más mínima duda, ¿verdad? En nada veremos qué relación tiene esto con la cuestión que nos ocupa hoy.

(Nota: Sobre esto, está claro que añadir los paréntesis en uno u otro sentido aclara más el tema para la mayoría, de eso no hay duda. Ahora, pienso que la solución a este tipo de cosas no puede ser añadir unos paréntesis innecesarios para «quitarnos» de encima el supuesto problema. Esta solución me parece más bien un parche que quieren poner quienes no quieren profundizar en el tema o quienes, simplemente, no entienden los fundamentos matemáticos del mismo. Y, si nos vamos a la enseñanza de las matemáticas, el hecho de añadir símbolos innecesarios hace que, a la larga, los alumnos se hagan unos líos tremendos. Al menos eso es lo que me dice mi propia experiencia.)

Bien, pues llegó el momento de responder a todos los interrogantes que hemos dejado por el camino hasta ahora. Para ello, tenemos que acudir al álgebra e ir «hacia atrás», hacia las definiciones y propiedades de los números reales que nos dejan operar con la libertad y la comodidad con la que lo hacemos habitualmente.

El conjunto R de los números reales junto con las operaciones suma, +, y producto, \cdot, habituales es (entre otras cosas) una estructura algebraica denominada cuerpo, que se suele denotar como (\mathbb{R},+,\cdot). Esto, para nosotros, significa muchas cosas, pero por ahora solamente voy a citar dos de ellas: tanto la suma como el producto usuales son operaciones asociativas. Esto quiere decir que, dados a,b,c tres números reales, se verifican las dos propiedades siguientes:

En ambos casos, da igual si primero asocio los dos elementos que me encuentro a la izquierda y luego el resultado de operarlos con el de la derecha, o si asocio el primero con el resultado de asociar los dos de la derecha. Esto, en la práctica, nos permite deshacernos de esos paréntesis que viene en las respectivas propiedades asociativas (los convierte en innecesarios), ya que el resultado es el mismo en ambos casos.

Por otro lado, la yuxtaposición de dos números reales x e y, que se escribe xy, se define como el producto de los mismos. Esto es:

Con esto desmentimos a quienes piensan que la yuxtaposición da prioridad. No, no es así. La yuxtaposición es lo que llamamos un abuso de notación, algo así como un «ahorro» a la hora de escribir (nos ahorramos el punto). Así que no, la yuxtaposición no da prioridad.

Vamos ahora al «turrón»: ni la resta ni la división son operaciones. Mientras se van recuperando los que se han caído de la silla, voy a aclarar un poco más este tema: no son operaciones que tengan todas las propiedades «buenas» que necesitaríamos para operar con total libertad. Así mejor, ¿verdad?

Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la multiplicación. Algo así como formas de escribir ciertas sumas o productos de otra manera. Esto tiene que ver con que tanto la suma como el producto de números reales poseen elemento simétrico, que, para un elemento x, en general se representa como x^{-1}. Más concretamente (y tomando {0} como el neutro de la suma y 1 como el neutro para el producto):

Dado un elemento , existe un único elemento y  que cumple que x+y=y+x=0. Este elemento y se denota, en general, como x^{-1}. Para el caso de la suma, se suele denominar opuesto y la notación habitual es x^{-1}=-x.

A partir de esto, se define la resta de dos números reales a y b como la suma de a y el opuesto de b:

a-b:=a+(-b)

Dado un elemento distinto de cero, existe un único elemento y  que cumple que . Este elemento y se denota, en general, como . Para el caso del producto, se suele denominar inverso y la notación habitual es 

A partir de esto, se define la división de dos números reales a y b (con b\ne 0) como el producto de a y el inverso de b:

Además, las notaciones  y a/b tienen el mismo significado que la notación a:b.

Ya, por fin, tenemos todos los ingredientes necesarios para responder a nuestro 8:2(2+2). Vamos a ello.

Para quienes dicen que la expresión está mal escrita, mal formulada, y que no pueden saber cuál de las operaciones realizar primero si no se les indica con paréntesis, les pongo un ejemplo del estilo pero con suma y resta. Sí, el que puse unos párrafos más arriba:

Si no se puede aplicar el criterio de «operaciones al mismo nivel de jerarquía se realizan de izquierda a derecha», ¿cuál es el valor de la operación combinada 19-5+7?

En la jerarquía de las operaciones aritméticas, la suma y la resta están al mismo nivel. Si no imponemos el criterio de «izquierda a derecha», podríamos hacer primero la resta y luego la suma, con resultado 21, o primero la suma y luego la resta, con resultado 7…o decir que la expresión está mal formulada por no contener unos paréntesis que me indiquen qué operación tengo que hacer primero.

En este punto, generamente te dirán que «la resta es lo mismo que sumar el inverso» (como ya hemos comentado unos párrafos más arriba). Por tanto, y con toda la razón del mundo, la expresión 19-5+7 se convierte en 19+(-5)+7 y, usando la asociatividad de la operación suma, podemos hacer esas dos operaciones en el orden que queramos…e incluso cambiando de orden los sumandos, ya que la suma en los números reales también es conmutativa. El resultado, lo hagamos como lo hagamos, es 21, como era más que evidente.

Esta ahora clara la analogía, ¿verdad? Esos mismos que te dicen esto para suma-resta no admiten/no son capaces de comprender que en el caso de multiplicación-división la situación es exactamente igual. Veámoslo paso a paso con nuestra «expresión viral» (usaremos que el inverso de 2 es 1/2):

El problema principal que hay en operaciones así es que tal cual están definidas, ni la resta ni la división son asociativas, ni pueden «relacionarse de manera asociativa» con su operaciones amigas (la suma y el producto respectivamente). Por ello, y para no cometer errores, lo ideal es pasar a sus respectivas definiciones (suma del opuesto y producto por el inverso). Se acabaron los problemas…

…o no Todavía nos queda un tema que comentar. Sí, el del dichoso criterio: ¿por qué eso de «operaciones al mismo nivel de jerarquía se operan de izquierda a derecha»? ¿De dónde ha salido eso? ¿Tiene sentido?

Ahora mismo no tengo información sobre cuándo comenzó a utilizarse ese criterio, ni siquiera si es de uso habitual en todo el planeta (en mi opinión, debería serlo). Lo que sí sé es que es un criterio infalible para dar con el resultado correcto respetando las propiedades de las operaciones y sin introducir paréntesis innecesarios, evitándonos así tener que «traducir» la resta a suma y la división a multiplicación. Es decir, es un criterio totalmente coherente con las operaciones en los números reales, que respeta todas las propiedades de las mismas y que nos da el resultado correcto siempre, y además sin meter símbolos «extra». ¿No os parecen suficientes razones para utilizarlo? Yo, al menos, lo tengo bastante claro.